Modeling and Optimization of an Investment Portfolio Using Mathematical and Statistical Tools

Disertační práce se věnuje návrhu tvorby a optimalizace investičního portfolia s využitím matematicko-statistických metod. Cílem práce je zhodnotit, do jaké míry lze aktivním přístupem a vhodnými algoritmickými strategiemi dosáhnout lepších výsledků z pohledu výnosnosti a rizika, než v případě pasivního investování do tržního indexu. K dosažení tohoto cíle jsou nejprve podrobně popsány a definovány vybrané metody, zejména teorie grafů (jako nástroj diskrétní matematiky) a jiné statistické metody, jako například korelační a shluková analýza. Následně se uskutečňuje přehled současného stavu poznání v oblasti aplikace teorie grafů v kontextu tvorby investičního portfolia, který je doplněn vlastními vědeckými publikacemi autora. Další části práce představují návrh a specifikaci konkrétních strategií spolu s jejich analýzou, porovnáním mezi sebou a kvantifikací jejich výkonností. Každá navrhovaná strategie je podrobně definována slovně i matematicky. S využitím každé jedné strategie pomocí simulační analýzy modelujeme různé scénáře vývoje portfolia sestavené pomocí konkrétní strategie. Kromě výnosnosti daných strategií porovnáváme i jiné atributy, které jsou pro investora důležité, například riziko strategie, které lze kvantifikovat pomocí směrodatné odchylky nebo variačního koeficientu. Pro srovnání je využíván i tržní benchmark v podobě nákupu tržního indexu a aktivní strategie minimalizace rizika s využitím Markowitzovy teorie portfolia. V závěru analytické části je provedena i komplexnější analýza výnosností jednotlivých strategií spolu se statistickým testováním rozdílů mezi jednotlivými strategiemi. Část práce je věnována také komparaci výpočetní složitosti jednotlivých algoritmů, které při sestavování strategií používáme. Za vědecký přínos práce považujeme inovativní přístup k optimalizaci portfolia s využitím nástrojů diskrétní matematiky, vhodně doplněný řadou statistických metod. Investorovi nabízí návrh nových strategií na tvorbu portfolia, přičemž všechny tyto strategie jsou podrobně diskutovány a porovnávány se standardními metodami. Všechny strategie jsou testovány na reálných empirických datech, což považujeme za praktický přínos předkládané disertační práce. Práce otevírá množství otázek vhodných k diskusi, a kromě vědecké komunity může být zajímavá i pro individuálního investora, který má zájem o aktivní přístup k tvorbě portfolia, neboť z práce vyplývá, že tímto aktivním přístupem dokáže investor dosahovat lepšího zhodnocení svých prostředků, než mu nabízí tržní index.

This dissertation focuses on designing and optimizing investment portfolios using mathematical and statistical methods. The thesis aims to evaluate whether a proactive approach and appropriate algorithmic strategies can achieve better results in terms of profitability and risk than passive investment in market indices. To this end, selected methods are first described and defined in detail, particularly graph theory (as a tool of discrete mathematics) and various statistical methods such as correlation and cluster analysis. This is followed by an overview of the current state of knowledge regarding the application of graph theory in the context of investment portfolio creation, supplemented by the author's own scientific publications. Subsequent sections present the design and specification of specific strategies, alongside their analysis, comparison, and quantification of performance. Each proposed strategy is defined in detail, both verbally and mathematically. We then model various scenarios for the development of a portfolio compiled using a specific strategy by means of simulation analysis. As well as the profitability of the given strategies, we compare other attributes important to investors, such as strategy risk, which can be quantified using standard deviation or the coefficient of variation. For comparison purposes, we also employ a market benchmark in the form of a market index purchase, as well as an active risk minimization strategy based on Markowitz's portfolio theory. At the end of the analytical section, we perform a more comprehensive analysis of the profitability of the individual strategies, together with statistical testing of the differences between them. The work also involves comparing the computational complexity of the algorithms used to compile the strategies. We consider the innovative approach to portfolio optimization using discrete mathematics tools, appropriately supplemented by a number of statistical methods, to be the scientific contribution of this work. It offers investors new strategies for portfolio creation, all of which are discussed in detail and compared with standard methods. All strategies are tested on real empirical data, which we consider to be a practical contribution of the submitted dissertation. The thesis raises a number of questions suitable for discussion and may also be of interest to individual investors interested in an active approach to portfolio creation. This is because the thesis shows that this approach allows investors to achieve a better return on their investment than the market index offers.